Question

如图，四边形与均为菱形，，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．
因为 四边形为菱形，所以，
且为中点．               ………………1分
又 ，所以． ………3分
因为，
所以 平面． ………………4分   
（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，
所以//，//，
所以 平面//平面．                ………………7分                                        又平面，
所以// 平面．                   ……………8分                        
（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．
因为为中点，所以，故平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………………9分                                   
设．因为四边形为菱形，，则，所以，
．
所以．          
所以，．              
设平面的法向量为，则有
所以  取，得．………………12分           
易知平面的法向量为．     ………………13分               
由二面角是锐角，得 ．      
所以二面角的余弦值为．      ……………14分

略