Question

13．已知a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，$\frac{2ab}{a+b}$中最小的是（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． $\sqrt{ab}$
• C． $\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$
• D． $\frac{2ab}{a+b}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质即可判断出结论．

解答 解：∵a＞0，b＞0，∴$\frac{2ab}{a+b}$$≤\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4}}$≥$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{4}}$=$\frac{a+b}{2}$，当且仅当a=b＞0时取等号．
则$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，$\frac{2ab}{a+b}$中最小是$\frac{2ab}{a+b}$．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．