试题分析:(1)求椭圆方程,利用待定系数法,列两个独立方程就可解出
因为短轴上的一个端点到
的距离为
,所以
而
所以
再根据“准圆”定义,写出“准圆”方程.(2)(ⅰ)直线与椭圆相切问题,通常利用判别式为零求切线方程,利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立消
得关于
的一元二次方程,由判别式为零得斜率
,即证得两直线垂直.(ⅱ)本题是(ⅰ)的一般化,首先对斜率是否存在进行讨论,探讨得斜率不存在时有两直线垂直,即将问题转化为研究直线是否垂直问题,具体就是研究
是否成立.研究思路和方法同(ⅰ),由于点
坐标在变化,所以由判别式为零得关于点
坐标的一个等式:
,即
,而这等式对两条切线都适用,所以
的斜率为方程
两根,因此
.当
垂直时,线段
为准圆
的直径,为定值4.
试题解析:解:(1)
,
椭圆方程为
, 2分
准圆方程为
. 3分
(2)(ⅰ)因为准圆
与
轴正半轴的交点为
,
设过点
且与椭圆相切的直线为
,
所以由
得
.
因为直线
与椭圆相切,
所以
,解得
, 6分
所以
方程为
. 7分
,
. 8分
(ⅱ)①当直线
中有一条斜率不存在时,不妨设直线
斜率不存在,
则
:
,
当
:
时,
与准圆交于点
,
此时
为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证当
:
时,直线
垂直. 10分
②当
斜率存在时,设点
,其中
.
设经过点
与椭圆相切的直线为
,
所以由
得
.
由
化简整理得
,
因为
,所以有
.
设
的斜率分别为
,因为
与椭圆相切,
所以
满足上述方程
,
所以
,即
垂直. 12分
综合①②知:因为
经过点
,又分别交其准圆于点
,且
垂直.
所以线段
为准圆
的直径,
,
所以线段
的长为定值. 14分