Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若对于任意x∈R，都有f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．

解答 解：∵当x≥0时，f（x）=|x-a²|+|x-2a²|-3a²．
∴当0＜x≤a²时，f（x）=a²-x+2a²-x-3a²=-2x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=x-a²+2a²-x-3a²=-2a²；
当x＞2a²时，f（x）=x-a²+x-2a²-3a²=2x-6a²．
画出其图象如下：

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得a∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查了函数的图象以及函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．