Question

12．已知：函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对数函数的性质列出不等式求解函数的定义域．
（Ⅱ）利用函数的奇偶性的定义判断即可．
（Ⅲ）利用对数函数的单调性求解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2．
∴f（x）的定义域为（-2，2）；
（Ⅱ）∵对任意的x∈（-2，2），-x∈（-2，2）
f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），
∴f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）＞0，即log₂（2+x）＞log_a（2-x），
∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2-x，即-2＜x＜0．
当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2-x，即x∈（0，2）．

点评 本题考查对数函数的定义域，奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．