Question

17．已知p：?x∈R，cos2x-sinx+2≤m；q：函数$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{2{x^2}-mx+2}}$在[1，+∞）上单调递减．
（ I）若p∧q为真命题，求m的取值范围；
（ II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真时，m的取值范围，
（ I）若p∧q为真命题，求两个范围的交集即可得到m的取值范围；
（ II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得m的取值范围．

解答 解：若p为真，
令f（x）=cos2x-sinx+2，则m≥f（x）_min，
又f（x）=cos2x-sinx+2=cos2x-sinx+2=-2sin²x-sinx+3
又-1≤sinx≤1，
所以sinx=1时，
f（x）_min=0，
所以m≥0…（5分）
若q为真：
函数$y={（{\frac{1}{3}}）^{2{x^2}-mx+2}}$在[1，+∞）上单调递减，
则$\frac{m}{4}≤1$，
所以m≤4…（6分）
（1）若p∧q为真，则p，q均为真，所以m∈[0，4]…（8分）
（2）若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，即$\left\{{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m＞4}\end{array}}\right.$即m＞4…（10分）
或$\left\{{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m≤4}\end{array}}\right.$即m＜0
所以m的取值范围为（-∞，0）∪（4，+∞）…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，恒成立问题，指数函数的单调性等知识点，难度中档．