Question

9．对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论
（1）f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）        
（2）f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（3）$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0              
（4）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
（5）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$     
（6）f（-x）=f（x）．
当f（x）=lgx时，上述结论正确的序号为（2）（3）（5）．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 利用对数的基本运算性质进行检验：（1）f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂，
（2）f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），（3）f（x）=lgx在（0，+∞）单调递增，可得 $\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
（4）（5）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$，由基本不等式可得结果．
（6）利用函数的奇偶性判断即可．

解答 解：（1）f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂
所以（1）不正确；
（2）f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂）所以（2）正确；
（3）f（x）=lgx在（0，+∞）单调递增，则对任意的0＜x₁＜x₂，d都有f（x₁）＜f（x₂）
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，所以（3）正确．
（4）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$=$\frac{lg（{x}_{1}{x}_{2}）}{2}$
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$∴lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$lg（x₁x₂），所以（4）不正确；（5）正确；
（6）f（x）=lgx函数不是偶函数，所以（6）不正确．
故答案为：（2）（3）（5）．

点评 本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调 性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．