Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ） 求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量数量积的运算，求解f（x），将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）x在[0，$\frac{π}{2}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，

解答 解：（Ⅰ）由题意：函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
所以函数f（x）最小正周期为：π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
x在[0，$\frac{π}{2}$]上时，则（2x$-\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
根据正弦函数的图象和性质可知：
当（2x$-\frac{π}{6}$）=$-\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为：$-\frac{1}{2}$；
当（2x$-\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为：1．
所以，f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为：1，$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．