Question

2．在公比为正数的等比数列{a_n}中，a₃-a₁=$\frac{16}{27}$，a₂=-$\frac{2}{9}$，数列{b_n}（b_n＞0）的前n项和为S_n满足S_n-S_n-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），且S₁₀=100．
（ I）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（ II）求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a_n，S_n，再利用递推关系可得b_n．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设{a_n}的公比为q（q＞0），则$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}{q^2}-{a_1}=\frac{16}{27}}\\{{a_1}q=-\frac{2}{9}}\end{array}}\right.$，
∴3q²+8q-3=0，由q＞0，解得$q=\frac{1}{3}$，${a_1}=-\frac{2}{3}$，
∴${a_n}=-2×{（{\frac{1}{3}}）^n}$．
∵${S_n}-{S_{n-1}}=（{\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}}）（{\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}}）$=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$，
又b_n＞0，$\sqrt{S_n}＞0$，∴$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$构成一个公差为1的等差数列，
∵$\sqrt{{S_{10}}}=10$，∴S₁=1，∴$\sqrt{S_n}=n$，${S_n}={n^2}$．
当n=1，b₁=S₁=1，
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=2n-1（n=1也满足）．
（II）$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．