Question

12．设递增的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，且$a_5^2={a_{10}}$，
（1）求数列{a_n}通项公式及前n项和为S_n；
（2）设${b_n}={S_n}•{log_2}{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
则由2（a_n+a_n+1）=5a_n+1得，2q²-5q+2=0，解得$q=\frac{1}{2}$或q=2，
又由$a_5^2={a_{10}}$知，${（{{a_1}{q^4}}）^2}={a_1}{q^9}$，∴a₁=q，
∵{a_n}为递增数列，∴${a_1}=q=2，{a_n}={2^n}，{S_n}={2^{n+1}}-2$．
（2）${b_n}={S_n}•{log_2}{a_{n+1}}=（{{2^{n+1}}-2}）（{n+1}）=（{n+1}）•{2^{n+1}}-2（{n+1}）$，
记数列{（n+1）•2ⁿ⁺¹}的首n项和为P_n，则${P_n}=2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（{n+1}）•{2^{n+1}}$，$2{P_n}=2•{2^3}+3•{2^4}+4•{2^5}+…+（{n+1}）•{2^{n+2}}$，
两式相减得：$-{P_n}={2^3}+（{{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}}）-（{n+1}）•{2^{n+2}}={2^3}+\frac{{{2^3}（{{2^{n-1}}-1}）}}{2-1}-（{n+1}）•{2^{n+2}}=-n•{2^{n+2}}$，
即${P_n}=n•{2^{n+2}}$，
又{2（n+1）}的前n项和为2（2+3+4+…+n+1）=n（n+3），
∴${T_n}=n•{2^{n+2}}-n（{n+3}）$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．