Question

4．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数，θ∈[0，π]），直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（1）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标；
（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设D点坐标为$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，由曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的坐标，化为极坐标可得答案；
（2）先求出直线l：y=k（x-2）+2与半圆x²+y²=2（y≥0）相切时k的值，及AB的斜率，进而可得答案．

解答 解：（1）设D点坐标为$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，
由已知得C是以O（0，0）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的上半圆，
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，即$θ=\frac{3π}{4}$，
故D点的直角坐标为（-1，1），
极坐标为$（{\sqrt{2}，\frac{3π}{4}}）$；
（2）直线l：y=k（x-2）+2与半圆x²+y²=2（y≥0）相切时，$\frac{{|{2k-2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$，
∴k²-4k+1=0，
∴$k=2-\sqrt{3}，k=2+\sqrt{3}$（舍去），
设点$B（{-\sqrt{2}，0}）$，则${k_{AB}}=\frac{2-0}{{2+\sqrt{2}}}=2-\sqrt{2}$，
故直线l的斜率的取值范围为$（{2-\sqrt{3}，2-\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查的知识点是参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，难度中档．