Question

16．如图，矩形ABCD 中，AD⊥平面ABE，AE=FB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC，BD交于G点
（1）求证：AE∥平面BFD
（2）求证：AE⊥平面BCE
（3）求三棱柱C-BGF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意可知G是AC中点，由BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，再由BC=BE，可得F是EC中点，得到FG∥AE，由线面平行的判定得AE∥平面BFD．
（Ⅱ）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，进一步得到AE⊥BC．结合BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，由线面垂直的判定得AE⊥平面BCE；
（Ⅲ）由已知可得GF⊥平面BCF．解直角三角形求得△BCF的面积，然后利用等积法求得三棱柱C-BGF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．
在△ABC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．
（Ⅱ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，
∴AE⊥平面BCE；
（Ⅲ）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCG，
∴FG⊥平面BCE，∴GF⊥平面BCF．
∵G是AC的中点，∴F是CE的中点，且FG=$\frac{1}{2}AE=1$，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．
∴在Rt△BCE中，BF=CF=$\frac{1}{2}CE=\sqrt{2}$．
∴${S}_{△CFB}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
则${V}_{C-BGF}={V}_{G-BCF}=\frac{1}{3}{S}_{△CFB}•FG=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．