Question

7．计算下列各式的值
（1）若a+a^-1=4，则求a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$的值
（2）已知2lg$\frac{x-y}{2}$=lgx+lgy，求log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$$\frac{x}{y}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用平方和公式计算即可，
（2）由2lg$\frac{x-y}{2}$=lgx+lgy，先求出$\frac{x}{y}$的值，再代入即可

解答 解：（1）（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=a+a^-1+2=6，
∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$＞0，
∴a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$
（2）2lg$\frac{x-y}{2}$=lgx+lgy=lgxy，
∴（x-y）²=4xy，
即$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=6，
解得$\frac{x}{y}$=3+2$\sqrt{2}$，或x=3-2$\sqrt{2}$（舍），
log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$$\frac{x}{y}$=log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$=-1

点评 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算、对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．