Question

17．已知函数f（x）=ka^x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．
（1）求函数的解析式；
（2）g（x）=b+$\frac{1}{f（x）+1}$是奇函数，求常数b的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，试比较$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$与$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入f（x），求出k，a的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据函数奇偶性的定义求出b的值即可；
（3）分别求出$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$与$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．

解答 解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：
$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{k{•a}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{a=4}\end{array}\right.$，
故f（x）=4^x；
（2）由（1）g（x）=b+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
若g（x）是奇函数，
则g（-x）=b+$\frac{1}{{4}^{-x}+1}$=b+$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-b-$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
解得：b=-$\frac{1}{2}$；
（3）∵f（x）的图象是凹函数，
∴$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
证明如下：
$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=${4}^{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}}$，
$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$=$\frac{{{4}^{{x}_{1}}+4}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{4}^{{{x}_{1}+x}_{2}}}}{2}$=${4}^{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}}$，
故$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数值的大小比较，考查不等式的性质，是一道中档题．