Question

8．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时$f（x）=x+\frac{a^2}{x}+7$，若f（x）≥a+1对一切 x≥0成立，则a的取值范围为a≤-1或a≥8．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．

解答 解：设x＞0，则-x＜0．
∵当x＜0时，$f（x）=x+\frac{a^2}{x}+7$，
∴f（-x）=-x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7．
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7．
∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
∴当x＞0时，x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．
①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
②由当x＞0时，x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥a+1恒成立，可得：2|a|-7≥a+1
解得a≤-8或a≥8．
综上可得：a≤-1或a≥8．
因此a的取值范围是：a≤-1或a≥8．
故答案为：a≤-1或a≥8．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．