Question

12．已知曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），将曲线C₁上每一点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍，得到曲线C，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{3}t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的普通方程；
（2）若P点的坐标为P（2，1），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用平方关系，和加减消元法，消参可得曲线C和直线l在直角坐标系下的普通方程；
（2）若P点的坐标为P（2，1），则直线l的参数方程化为标准方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入椭圆方程，由韦达定理，可得答案．

解答 解：（1）由题意得曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt{2}}}=cosθ\;①\\ y=sinθ\;②\end{array}\right.$，①²+②²，得$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以曲线C的标准方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…..…（3分）
直线l的标准方程为：$x-\sqrt{3}y-2+\sqrt{3}=0$…..…（5分）
（2）将直线l的参数方程化为标准方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），…（7分）
代入椭圆方程得：$5{t^2}+8（\sqrt{3}+1）t+16=0$，
所以$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{16}{5}$…．…（10分）

点评 本题考查的知识点是参数方程与普通方程的互化，直线与椭圆的综合应用，难度中档．