Question

7．如图，△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C=$\frac{π}{3}$，$\frac{a}{b}$=$\frac{cosB}{cosA}$，在△ABC内取一点P，使得PB=3，过点P分别作直线BA，BC的垂线PM，PN，垂足分别是M，N，则|PM|+|PN|的最大值为3．

Answer 1

分析 由acosA=bcosB及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$． 由于C=$\frac{π}{3}$，即可得出B，设∠PBM=α，得PM=3sinα；PN=3sin（$\frac{π}{3}$-α），α∈（0，$\frac{π}{3}$）．于是PM+PN=3sin（α+$\frac{π}{3}$）．由于α∈（0，$\frac{π}{3}$），可得sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得出．

解答 解：由$\frac{a}{b}$=$\frac{cosB}{cosA}$，及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
∴有A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．  
又∵C=$\frac{π}{3}$，得A+B=$\frac{2π}{3}$，与A+B=$\frac{π}{2}$矛盾，
∴A=B，因此B=$\frac{π}{3}$． 
设∠PBM=α，可得：
在Rt△PMB中，PM=PB•sin∠PBM=3sinα；
在Rt△PNB中，PN=PB•sin∠PBN=PB•sin（$\frac{π}{3}$-∠PBA）=3sin（$\frac{π}{3}$-α），α∈（0，$\frac{π}{3}$）．
∴PM+PN=3sinα+3sin（$\frac{π}{3}$-α）=3sin（α+$\frac{π}{3}$）．
∵α∈（0，$\frac{π}{3}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），从而有sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即3sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]．
于是，当α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，PM+PN取得最大值3．
故答案为：3．

点评 本题查克拉正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．