Question

3．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x}$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
（1）求当x＜0时，函数f（x）的解析式；
（2）求g（x）的解析式，并证明g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，结合已知与函数是奇函数可得x＜0时的解析式，则答案可求；
（2）由已知结合（1）写出分段函数解析式，然后利用奇偶性的定义证明g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
此时有f（-x）=$\sqrt{-x}$．
又∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}$．
∴当x＜0时，$f（x）=-\sqrt{-x}$．
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}}\right.$；
（2）函数g（x）解析式为g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
g（x）的定义是R，关于原点对称，
当x＞0时，-x＜0，$g（-x）=\sqrt{-（-x）}=\sqrt{x}=g（x）$，
当x＜0时，-x＞0，$g（-x）=\sqrt{-x}=g（x）$，
综上所述，函数g（x）为偶函数．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的判断方法，是中档题．