Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-n
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列并求{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（2n+1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-n与S_n+1=2a_n+1-（n+1）作差、整理可知a_n+1=2a_n+1，从而a_n+1+1=2（a_n+1），进而数列{a_n+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．
（2）利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）证明：∵S_n=2a_n-n，
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=2a₁-1，即a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是以4为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）2^n-1+（2n+1）2ⁿ，
∴2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹=6+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2+（-2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法求数列的前n项和，这种方法要熟练掌握．