Question

6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0，|φ|＜π）对于任意x∈R满足f（x）=f（-x）和f（x）=f（2-x），在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，则有ω=π，φ=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据任意x∈R满足f（x）=f（-x），得到函数是一个偶函数，φ=kπ+$\frac{π}{2}$，根据f（x）=f（2-x），得到函数的图象关于x=1对称，有在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，得到在x=1函数取得最大1，确定函数所过的一个点的坐标，代入求解．

解答 解：∵对于任意x∈R满足f（x）=f（-x）
∴函数是一个偶函数，函数的图象关于y轴对称，φ=kπ+$\frac{π}{2}$，
∵|φ|＜π，∴φ=±$\frac{π}{2}$，f（x）=±2cosωx-1，
∵在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，
∴f（x）=-2cosωx-1，∴φ=-$\frac{π}{2}$
∵f（x）=f（2-x），∴函数的图象关于x=1对称，
∵在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，
∴在x=1函数取得最大，∴函数的周期是2，∴ω=π．
故答案：π、-$\frac{π}{2}$

点评 本题考查的是三角函数的奇偶性的综合知识，及三角函数的对称性，本题解题的关键是对于三角函数中角度的确定是一个难点，需要根据题意看出函数的图象过的一个点，再代入求解，属于中档题．