Question

已知点A（4，0），B（1，0），若动点T满足

AB

•

AT

=6|

BT

|．
（1）求动点T的轨迹Γ；
（2）在x轴正半轴上是否存在一点P，过该点的直线l（不与x轴重合）与曲线Γ交于两点M，N，使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

为定值，若有求出P点坐标和定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设出动点坐标，得到向量

AT

，

AB

，

BT

的坐标，代入

AB

•

AT

=6|

BT

|整理得到动点T的轨迹Γ；
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

为定值，设出M，N的坐标及直线l的方程x=ty+m，
把

1

|PM|2

+

1

|PN|2

用M，N的坐标及t表示，再把直线和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到M，N的纵坐标的关系，代入

1

|PM|2

+

1

|PN|2

整理得到关于m的表达式，然后由分子的系数关系求得m的值，则答案可求．

解答： 解：（1）设动点T（x，y），
∵A（4，0），B（1，0），
∴

AT

=（x-4，y），

AB

=（-3，0），

BT

=（x-1，y），
代入

AB

•

AT

=6|

BT

|，整理得：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

为定值．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：x=ty+m，
则|PM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12，|PN|2=(t2+1)y22．
∴

1

|PM|2

+

1

|PN|2

=

1

(t2+1)

(

1

y12

+

1

y22

)=

1

(t2+1)

y12+y22

y12y22

=

1

(t2+1)

(y1+y2)2-2y1y2

y12y22

  （1）
联立x=ty+m与

x2

4

+

y2

3

=1，整理得：（3t²+4）y²+6tmy+3m²-12=0．
∴y1+y2=

-6tm

3t2+4

，y1y2=

3m2-12

3t2+4

，代入（1）式得：

1 |PM|2 + 1 |PN|2 = 1 (t2+1) • ( -6tm 3t2+4 )2-2• 3m2-12 3t2+4 ( 3m2-12 3t2+4 )2 = t2(18m2+72)+96-24m2 t2(3m2-12)2+(3m2-12)2

．
要使得上式为定值，须18m²+72=96-24m²，解得m=

2 7

7

，
此时

1

|PM|2

+

1

|PN|2

取到定值

7

9

．
∴当P为（

2 7

7

，0）时，

1

|PM|2

+

1

|PN|2

取到定值

7

9

．

点评：本题考查轨迹方程，考查了向量在解题中的应用，体现了设而不求的解题思想方法，考查了学生的综合运算能力，是压轴题．