Question

13．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）

• A． $y=-\frac{1}{x}$
• B． y=3^-x-3^x
• C． $y=ln（{x+\sqrt{1+{x^2}}}）$
• D． $y=\frac{{{3^x}+1}}{{{3^x}-1}}$

Answer 1

分析 利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．

解答 解：对于A：反比例函数，图象在二、四象限，是奇函数，但在整个定义域内不连续，没有单调性，故A不对．
对于B：令t=3^x，y=$\frac{1}{t}-t$，是奇函数，但在其定义域内是减函数，故B不对．
对于C：f（x）+f（-x）=$ln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）+ln（-x+\sqrt{1+{x}^{2}}）$=0，是奇函数，根据复合函数的单调性，同增异减，所以在其定义域内是增函数，故C对．
对于D：$y=\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{x}-1}=1+\frac{2}{{3}^{x}-1}$，在其定义域内是减函数，故D不对．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题．