Question

3．已知函数f（x）=ae^x（a为正实数）
（I）求f（x）在区间[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）当a=1时，求证：f（x）≥x+1．

Answer 1

分析 （I）通过对f（x）=ae^x（a为正实数）求导，判断函数f（x）=ae^x（a为正实数）在区间[0，+∞）上的单调性，进而整理即得结论；
（Ⅱ）通过分析问题转化为证明e^x-x-1＞0，令g（x）=e^x-x-1，问题即为证明g（x）的最小值为0，通过导数、结合单调性即得结论．

解答 （I）解：∵f（x）=ae^x（a为正实数），e^x＞0，
∴f′（x）=ae^x＞0（a为正实数），即函数f（x）=ae^x（a为正实数）在R上单调递增，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为f（0）=a；
（Ⅱ）证明：当a=1时，f（x）=e^x，
要证f（x）≥x+1，即证e^x-x-1＞0，
令g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=e^x-1=0可知x=0，
故当x＜0时，g′（x）=e^x-1＜1-1=0，即g（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上单调递减，
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，即g（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上单调递增，
从而当x=0时，g（x）取得最小值g（0）=1-0-1=0，
∴e^x-x-1＞0，即f（x）≥x+1．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式问题，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．