Question

15．已知直线y=$\frac{1}{e}$是函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切线（其中e=2.71828…）
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用直线y=$\frac{1}{e}$是函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切线，建立方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，m＞$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$对任意的x∈（0，2）成立，构建函数，求出右边的最大值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{a-ax}{{e}^{x}}$=0，可得x=1，
∵直线y=$\frac{1}{e}$是函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切线
∴$\frac{a}{e}$=$\frac{1}{e}$，
∴a=1；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，
∴m＞$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$对任意的x∈（0，2）成立，
令g（x）=$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{x（x-1）（x-4）}{{e}^{x}}$，
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=1时，g（x）_max=$\frac{1}{e}$，
∴m＞$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，属于中档题．