Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点．

（1）求证：MN∥BC；
（2）若M，N分别为PB，PC的中点，
①求证：PB⊥DN；
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为底面ABCD为直角梯形，所以BC∥AD．

因为BC平面ADNM，AD平面ADNM，

所以BC∥平面ADNM．

因为BC平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，

所以MN∥BC．

（2）解：①因为M，N分别为PB，PC的中点，PA=AB，

所以PB⊥MA．

因为∠BAD=90°，所以DA⊥AB．

因为PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．

因为PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．

因为AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，

因为DN平面ADNM，所以PB⊥DN．

解：②如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

由（2）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量为 =（﹣2，0，2）．

设平面PDN的法向量为 =（x，y，z），

因为 ， ，

所以 ．

令z=2，则y=2，x=1．所以 =（1，2，2），

所以cos＜ ＞= = = ．

所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值为

【解析】（1）推导出BC∥AD，从而BC∥平面ADNM，由此能证明MN∥BC．（2）①推导出PB⊥MA，DA⊥AB，从而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能证明PB⊥DN．②以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．