Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n-1（n∈N^*），则T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

的结果可化为（　　）

• A、1-

  1

  4n

• B、1-

  1

  2n

• C、

  2

  3

  （1-

  1

  4n

  ）
• D、

  2

  3

  （1-

  1

  2n

  ）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出an=2n-1，从而

1

anan+1

=

1

22n-1

，由此能求出T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

的表达式．

解答： 解：∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
∴n=1时，a1=S1=2a1-1 ，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴an=2n-1，

1

anan+1

=

1

22n-1

，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

=

1 2 (1- 1 22n )

1- 1 4

=

2

3

（1-

1

4n

）．
故选：C．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．