Question

如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧

AC

，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由题意得y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2，化简并写出定义域（0＜x＜

π

2

）；
（2）求导y′=1-2cos（

π

2

-x）以确定函数的单调性，从而求最大值．

解答： 解：（1）由题意得，
y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2
=x+2sin（

π

2

-x），（0＜x＜

π

2

）；
函数的定义域为{x|0＜x＜

π

2

}；
（2）y′=1-2cos（

π

2

-x），
令y′=0解得，x=

π

6

，
故当x=

π

6

时，观光路线总长最大，
最大值为

π

6

+2×

3

2

=

π

6

+

3

（km）．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．