Question

已知数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T₁₀．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知得{a_n}是首项为8，公差为-2的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（Ⅱ）由a_n=10-2n，得当n＞5时，a_n＜0；当n=5时，a_n=0；当n＜5时，a_n＞0．由此能求出T₁₀=2S₅-S₁₀=50．

解答： 解：（I）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=…=a₂-a₁，
∴{a_n}是等差数列，…（2分）
且a₁=8，a₄=2，∴d=-2，…（3分）
a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．…（4分）
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=8n-n(n-1)=-n2+9n．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5，
当n＞5时，a_n＜0；当n=5时，a_n=0；
当n＜5时，a_n＞0，
∴T₁₀=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|
=S₅-（S₁₀-S₅）
=2S₅-S₁₀
=2（-25+45）-（-100+90）
=50．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前10项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．