Question

已知f（x）=

1

x-1

．证明：f（x）在（-∞，1）内单调递减．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据减函数的定义，设x₁，x₂∈（-∞，1），且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＞f（x₂）即可得到f（x）在（-∞，1）内单调递减．

解答： 证明：设x₁，x₂∈（-∞，1），且x₁＜x₂，则：
f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁，x₂∈（-∞，1），x₁＜x₂；
∴x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，1）内单调递减．

点评：考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明函数为减函数的方法与过程．