Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为$\sqrt{3}$的正三角形．
（1）连接AC与BD交于点O，点M是PB的中点，求证：OM∥平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出OB=OD，OM∥PD，由此能证明OM∥平面PAD．
（2）在平面四边形ABCD内，过点A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）由题意得在平面四边形ABCD中，∠BAD=120°
∠ABD=∠ADB=30°，∴OB=OD，
∵点M是PB的中点，∴OM∥PD，
又OM?平面PAD，PD?平面PAD，
∴OM∥平面PAD．
解：（2）在平面四边形ABCD内，
过点A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠ABD=∠ADB=30°，DB=$\sqrt{3}$，∴AB=AD=1，
则A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}，0，0$），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}x+y-z=0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，令y=-1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-1，2$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}a+b-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{4}$，
由图知二面角B-PC-D的平面角为钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．