Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令x=-1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，画出图形，根据函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=log_a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
即log_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

，又0＜a＜1，∴0＜a＜

3

3

，
故答案为：（0，

3

3

）．

点评：此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．