Question

已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；
（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．

解答： 解：∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
又g′（x）=e^x-2a，x∈[0，1]，∴1≤e^x≤e，
∴①当a≤

1

2

时，则2a≤1，g′（x）=e^x-2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=1-b；
②当

1

2

＜a＜

e

2

，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x-2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）_min=g[ln（2a）]=2a-2aln（2a）-b；
③当a≥

e

2

时，则2a≥e，g′（x）=e^x-2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-2a-b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为gmin(x)=

1-b  (a≤ 1 2 ) 2a-2aln(2a)-b  ( 1 2 ＜a＜ e 2 ) e-2a-b  (a≥ e 2 )

；
（2）由f（1）=0，⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤

1

2

或a≥

e

2

时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若

1

2

＜a＜

e

2

，则g_min（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e+1
令h（x）=

3

2

x-xlnx-e+1  （1＜x＜e）
则h′(x)=

3

2

-(lnx+x•

1

x

)=

1

2

-lnx，∴h′(x)=

1

2

-lnx．由h′(x)=

1

2

-lnx＞0⇒x＜

e

∴h（x）在区间（1，

e

）上单调递增，在区间（

e

，e）上单调递减，
h(x)max=h(

e

)=

3

2

e

-

e

ln

e

-e+1=

e

-e+1＜0，即g_min（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间?

g(0)=2-e+a＞0 g(1)=-a+1＞0

⇒

a＞e-2 a＜1

，
又

1

2

＜a＜

e

2

，所以e-2＜a＜1，
综上得：e-2＜a＜1．

点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．