Question

（1）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc；
（2）求证：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：（1）依题意，a、b、c均为正数，利用基本不等式及不等式的性质知b²+c²≥2bc，a（b²+c²）≥2abc；同理可得b（c²+a²）≥2abc；c（a²+b²）≥2abc；于是可证结论成立；
（2）利用分析法，要证原不等式成立，只需证不等号两端平方之后的不等式成立即可，最后只需证：

42

＞

40

，该式显然成立，于是可得原不等式成立．

解答： 证明：（1）∵a，b，c是正数，
∴b²+c²≥2bc，a（b²+c²）≥2abc；
同理可得，b（c²+a²）≥2abc；
c（a²+b²）≥2abc；
又a，b，c是不全相等的正数，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc；
（2）要证明：

6

+

7

＞2

2

+

5

成立，
只需证明：6+7+2

6

•

7

＞8+5+2×2

10

成立，
即证：

42

＞

40

，该式显然成立，
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，突出分析法的考查，属于中档题．