Question

设θ为两个非零向量

a

，

b

的夹角，已知对任意实数t，|

b

+t

a

|的最小值为1．（　　）

• A、若θ确定，则|

  a

  |唯一确定
• B、若θ确定，则|

  b

  |唯一确定
• C、若|

  a

  |确定，则θ唯一确定
• D、若|

  b

  |确定，则θ唯一确定

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,零向量,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得（

b

+t

a

）²=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2，令g（t）=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2，由二次函数可知当t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得|

b

|2sin²θ=1，综合选项可得结论．

解答： 解：由题意可得（

b

+t

a

）²=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2
令g（t）=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2
可得△=4(

a

•

b

)2-4

a

2

b

2=4

a

2

b

2cos²θ-4

a

2

b

2＜0
由二次函数的性质可知g（t）＞0恒成立
∴当t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ时，g（t）取最小值1．
即g（-

| b |

| a |

cosθ）=-|

b

|2cos2θ+

b

2=|

b

|2sin²θ=1
故当θ唯一确定时，|

b

|唯一确定，
故选：B

点评：本题考查平面向量数量级的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．