Question

7．在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=$\frac{π}{3}$．现有一动点C在单位圆的劣弧$\widehat{AB}$上运动，设∠AOC=α．
（1）若tanα=$\frac{1}{3}$，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的值；
（2）若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由tanα=$\frac{1}{3}$，求出cosα、sinα的值，计算$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的值即可；
（2）根据$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，列出方程，求出x、y的表达式，再求x+y的最大值即可．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{3}$，∴3sinα=cosα，又sin²α+cos²α=1，α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$．cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
cos∠BOC=cos（$\frac{π}{3}-α$）=cos$\frac{π}{3}$cosα+sinαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{20}$
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos∠BOC=$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{20}$．
（2））∵A（1，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∠AOC=α，（0≤α≤$\frac{π}{3}$），
∴C（cosα，sinα）；
又∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OA}=（1，0）.\overrightarrow{OB}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x+\frac{1}{2}y}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，⇒x+y=cosα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}sin（α+\frac{π}{3}）$
∴当α=$\frac{π}{6}$时，sin（α+$\frac{π}{3}$）=1，x+y取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的求值以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题．属于中档题．