Question

2．已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|，$g（x）=\frac{1}{2}x+3$
（1）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）若a＞-1，且当x∈[-a，1]时，不等式f（x）≤g（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，f（x）＜g（x）等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{3-2x＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{1＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-3＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，由此能求出不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）推导出f（x）=a+1，不等式f（x）≤a+1≤（$\frac{1}{2}x+3$）_max，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-2时，
f（x）=|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{3-2x，x＜1}\\{1，1≤x≤2}\\{2x-3，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）＜g（x）等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{3-2x＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{1＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-3＜\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1或1≤x≤2或2＜x＜4，即0＜x＜4．
∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|0＜x＜4}．
（2）∵x∈[-a，1]，∴f（x）=1-x+x+a=a+1，
不等式f（x）=a+1≤g（x）_max=（$\frac{1}{2}x+3$）_max，
∴-1＜a≤$\frac{5}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-1，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查零点分段法求解绝对值不等式，考查分类讨论，是中档题．