Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

5

12

π，

1

24

π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本题要先利用三角恒等变换公式，化简整理后，将f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

变为f（x）=sin(2x+

π

6

)
（I）由正弦函数的单调性，令相位属于正弦函数的增区间和减区间，解出x的取值范围，即得到函数的递增区间和递减区间；
（II）先由x的范围得出 -

2

3

π≤2x+

π

6

≤

π

4

，然后根据正弦函数的单调性即可得出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x…（2分）=sin(2x+

π

6

)…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．…（6分）
所以 f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（Ⅱ）因为 -

5

12

π≤x≤

1

24

π，
所以 -

2

3

π≤2x+

π

6

≤

π

4

．…（8分）
所以 当2x+

π

6

=

π

4

，即x=

π

24

时，f（x）取得最大值

2

2

；当2x+

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

3

时，f（x）取得最小值-1．…（11分）

点评：本题是三角函数中的常规题型，近几年高考中这种类型也比较常见，其步骤是先化简整理，再由公式进行求解，求单调区间，求最值等，此类题掌握好解题规律即可顺利解出，中档题．