Question

已知正项数列{x_n}满足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）证明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）证明：x_n＜x_n+1；
（3）证明：

n-1

n

＜x_n＜

n+1

n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）可以利用基本不等式进行证明；（2）利用（1）的结论，通过不等式传递，得到本题结果；（3）可以将原不等式折成两个不等式，再利用数学归纳法、反证法分别进行证明．

解答： 证明：（1）方法一：因为x_n＞0，所以xn+

1

xn

≥2

xn× 1 xn

=2，
故xn+

1

xn

≥2，当且仅当x_n=1时，等号成立．
方法二：因为x_n＞0，所以xn+

1

xn

-2=(

xn

-

1

xn

)2≥0，
故xn+

1

xn

≥2，当且仅当x_n=1时，等号成立．
（2）由（1）知xn+

1

xn

≥2，又xn+

1

xn+1

＜2，
所以

1

xn

＞

1

xn+1

，所以x_n＜x_n+1．
（3）先证：xn＞

n-1

n

（数学归纳法）
当n=1时，不等式显然成立； 
假设当n=k（k∈N^*）时不等式成立，即xk＞

k-1

k

．
当n=k+1时，由xn+

1

xn+1

＜2得xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2- k-1 k

=

k

k+1

，
即当n=k+1时，不等式成立； 
综上，对一切n∈N^*都有xn＞

n-1

n

成立．
再证：xn＜

n+1

n

由x_n＞0及xn+

1

xn+1

＜2（n∈N^*），得x_n＜2（n∈N^*），
所以当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，证明xn＜

n+1

n

（反证法）
假设存在k，使得xk≥

k+1

k

，
则有xk+1＞

1

2-xk

≥

1

2- k+1 k

=

k

k-1

，即xk+1＞

k

k-1

，
所以xk+2＞

k-1

k-2

，xk+3＞

k-2

k-3

，┅，x2k-2＞

3

2

，x_2k-1＞2，
与题设x2k-1+

1

x2k

＜2矛盾．
所以对一切n∈N^*都有xn＜

n+1

n

成立．
所以对一切n∈N^*都有

n-1

n

＜xn＜

n+1

n

成立．

点评：本题考查的不等式和数列的知识，包括基本不等式、解不等式、数列、数学归纳法、反证法，思维量较大，属于难题．