Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m，n∈N*都有a_2m+1+a_2n-1=2_m+n-1+2（m-n）²
（1）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N*）证明：{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=（a_2n+1-a_2n-1）q^n-1（q≠0，n∈N*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，令m=2，n=1，得a₃=2a₂-a₁+2=6，令m=3，n=1，得a₅=2a₃-a₁+8=20，由已知得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8，从而b_n+1-b_n=8，由此能证明{b_n}是公差为8的等差数列．
（2）由（1）知{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列，从而c_n=2nq^n-1．由此能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20…
当n∈N ^*时，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列
（2）由（1）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列
则b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=

a2n+1+a1

2

-（n-1）²．
那么a_n+1-a_n=

a2n+1+a2n-1

2

-2n+1
=

8n-2

2

-2n+1=2n，
于是c_n=2nq^n-1．
当q=1时，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）
当q≠1时，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
两边同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述两式相减得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•

1-qn

1-q

-2nqⁿ
=2•

1-(n+1)qn+nqn+1

1-q

，
∴S_n=2•

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

，
综上所述，S_n=

n(n+1)，q=1 2• nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2 ，q≠1

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．