Question

19．设命题p：函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln（x²+ax+1）的定义域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．

解答 解：p为真命题?f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]上恒成立?a≥3x²在[-1，1]上恒成立?a≥3．
若函数y=ln（x²+ax+1）的定义域是R，
则x²+ax+1＞0恒成立，即△=a²-4＜0恒成立?-2＜a＜2（6分），
若命题p或q为真命题，p且q为假命题，
则p和q有且只有一个是真命题．
若p真q假?$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ a≤-2或a≥2\end{array}\right.$?a≥3；
若p假q真?$\left\{\begin{array}{l}a＜3\\-2＜a＜2\end{array}\right.?-2＜a＜2$．
综上所述：a∈（-2，2）∪[3，+∞）（12分）

点评 本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．