Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2点M，N分别在棱PD，PC上，且

PN

=

1

2

NC

，PM=MD．
（1）求证：PC⊥平面AMN
（2）求二面角B-AN-M的大小．

Answer 1

分析：（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量

CP

，

AN

，

AM

，然后计算

CP

•

AN

与

CP

•

AM

，证得

CP

⊥

AN

，

CP

⊥

AM

，而AM∩AN=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由（1）可知

CP

是平面AMN的一个法向量，然后求出平面BAN的一个法向量为

n

=（x，y，z），设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=

n • CP

|n| |CP|

，最后利用反三角函数表示即可．

解答：解：（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵

PN

=

1

2

NC

，∴N（

2

3

，

2

3

，

4

3

）

CP

=（-2，-2，2），

AN

=（

2

3

，

2

3

，

4

3

），

AM

=（1，0，1）
∴

CP

•

AN

=（-2）×

2

3

+（-2）×

2

3

+2×

4

3

=0

CP

•

AM

=（-2）×1+0+2×1=0
∴

CP

⊥

AN

，

CP

⊥

AM

而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知

CP

是平面AMN的一个法向量
设平面BAN的一个法向量为

n

=（x，y，z）

AB

=（0，2，0），

AN

=（

2

3

，

2

3

，

4

3

）
∴

n • AB =0 n • AN =0

即

2y=0 2 3 x+ 2 3 y+ 4 3 z=0

令x=2，则y=0，z=-1
∴

n

=（2，0，-1）
设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=

n • CP

|n| |CP|

=

-4-2

5 × 12

=-

2 15

15

∴二面角B-AN-M的大小为π-arccos

2 15

15

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间向量的方法求二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．