Question

已知首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0
（I）令C_n=

an

bn

，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=4b₂•b₆，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0，两边都除以b_nb_n+1，
可得

an

bn

-

an+1

bn+1

+3=0，c_n+1-c_n=3．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由于数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=4b₂•b₆，两条等比数列的通项公式即可得出q=

1

2

，b_n．
可得a_n=b_nc_n=

3n-2

2n-1

．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0，
∴

an

bn

-

an+1

bn+1

+3=0，即

an+1

bn+1

-

an

bn

=3，c_n+1-c_n=3．
∴数列{c_n}是等差数列，首项c₁=1，公差d=3．
∴c_n=c₁+（n-1）d=3n-2．
（II）∵数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=4b₂•b₆，
∴

b

2 1

q4=4×b1q×b1q5，
∴4q²=1，q＞0，解得q=

1

2

．
∴bn=

1

2n-1

．
∴a_n=b_nc_n=

3n-2

2n-1

．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=1+

4

2

+

7

22

+…+

3n-2

2n-1

，

1

2

Sn=

1

2

+

4

22

+

7

23

+…+

3n-5

2n-1

+

3n-2

2n

，
∴

1

2

Sn=1+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-2

2n

=1+3×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-2

2n

=4-

3

2n-1

-

3n-2

2n

，
∴S_n=8-

6n+8

2n

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．