Question

5．已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点．C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C₁相交于A、B两点，与C₂相交于C、D两点，且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向．
（1）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；
（2）设C₁在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a²-b²=1，再根据C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$，得到$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}$=1，解得即可求出；
（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，设直线l的方程，分别与C₁，C₂构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；
（2）根据导数的几何意义得到C₁在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．

解答 解：（Ⅰ）抛物线C₁：x²=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C₂的一个焦点，
∴a²-b²=1，①，
又C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$，C₁与C₂的都关于y轴对称，且C₁的方程为x²=4y，
由此易知C₁与C₂的公共点的坐标为（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），
所以$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}$=1，②，
联立①②得a²=9，b²=8，
故C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
（1）因为$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向，且|AC|=|BD|，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$，
从而x₃-x₁=x₄-x₂，即x₁-x₂=x₃-x₄，于是
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，③
设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，而x₁，x₂是这个方程的两根，
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，④
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得（9+8k²）x²+16kx-64=0，而x₃，x₄是这个方程的两根，
所以x₃+x₄=$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，⑤
将④⑤代入③，得16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}{k}^{2}}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4×64}{9+8{k}^{2}}$，
即16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}×9（{k}^{2}+1）}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$，
所以（9+8k²）²=16×9，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）由x²=4y得y′=$\frac{1}{2}$x，
所以C₁在点A处的切线方程为y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
令y=0，得x=$\frac{1}{2}$x₁，
M（$\frac{1}{2}$x₁，0），
所以$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{1}{2}$x₁，-1），
而$\overrightarrow{FA}$=（x₁，y₁-1），
于是$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$x₁²-y₁+1=$\frac{1}{4}$x₁²+1＞0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．

点评 本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．