Question

17．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，求出$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，即可求出AB的取值范围．

解答 解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，
∵BC=2，
∴（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m）sin15°=1，
∴$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴0＜x＜4，
而AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AB的取值范围是（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

方法二：
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，

倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
故答案为：（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．