Question

14．函数f（x）=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+5（a，b为常数），若f（x）在（0，+∞）上有最小值-4，则f（x）在（-∞，0）上有（　　）

• A． 最大值-1
• B． 最大值14
• C． 最大值9
• D． 最大值4

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-4=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），从而可判断函数为奇函数，根据函数奇偶性和单调性的关系，即可求得函数的最值．

解答 解：∵$f（x）=asinx+b{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+5（a，b$为常数），
∴f（x）-5=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
设F（x）=f（x）-5=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
则F（-x）=asin（-x）+blog₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-（asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$））=-F（x）；
则函数F（x）=f（x）-5是奇函数，
∵f（x）在（0，+∞）上有最小值-4，
∴F（x）在（0，+∞）上有最小值-4-5=-9；
∴F（x）在（-∞，0）上有最大值9；
即f（x）在（-∞，0）上有最大值9+5=14；
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质的判断与函数的性质的应用，根据条件构造函数，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．