Question

19．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列五个说法：
?①$f（\frac{2015π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；?
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，则x₁=x₂+kπ（k∈Z）
③f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上单调递增；
④函数f（x）的最小正周期为π；
⑤f（x）的图象关于点（π，0）成中心对称．
其中说法正确的序号是①③⑤．

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象与性质进行判断，

解答 解：f（$\frac{2015π}{3}$）=|cos$\frac{2015π}{3}$|sin$\frac{2015π}{3}$=|cos（672π-$\frac{π}{3}$）|sin（672π-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$sin（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}×$（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．故①正确；
|f（x）|的图象是轴对称图形，当x₁，x₂关于|f（x）|的对称轴对称时，显然x₁≠x₂+kπ（k∈Z）．故②错误；
当x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，cosx＞0，∴f（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，此时2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上单调递增；故③正确；
∵f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴函数f（x）的最小正周期不是π．故④错误；
∵|cosx|≥0，∴f（x）的对称中心就是y=sinx的对称中心，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，三角函数的周期及单调性判断，属于中档题．