Question

10．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．

解答 解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．
由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．
设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．
因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．
在△DMN中，DM=$\frac{1}{2}CD$=1，DN=$\frac{2}{3}DP$=$\sqrt{3}$．
由余弦定理得MN=$\sqrt{1+3-2×1×\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{2}$．
∴四边形DMON的外接圆的半径OD=$\frac{MN}{sinθ}$=$\sqrt{3}$．
故球O的半径R=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查四面体ABCD的外接球，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球球心位置是关键．