Question

2．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a${\;}_{n}^{2}$+2a_n=4S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，求得首项为2；再由n＞1时，将n换为n-1，相减可得a_n-a_n-1=2，再由等差数列的通项公式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{4n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁²+2a₁=4S₁=4a₁，
解得a₁=2，
当n＞1时，a_n-1²+2a_n-1=4S_n-1，
又a${\;}_{n}^{2}$+2a_n=4S_n（n∈N^*）．
两式相减可得，a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1²+2a_n-2a_n-1=4S_n-4S_n-1=4a_n，
即有（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
可得a_n-a_n-1=2，
则a_n=a₁+2（n-1）=2n：
（Ⅱ）b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{4n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n项和T_n=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{17}{12}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．