Question

12．曲线C上任一点到点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和为10．曲线C的左顶点为A，点P在曲线C上，且PA⊥PF₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）在y轴上求一点M，使M到曲线C上点的距离最大值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，曲线C为椭圆，且求出椭圆的长半轴和半焦距长，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出P点坐标，结合PA⊥PF₂，以及P在椭圆上联立方程组求得P的坐标；
（3）设M（0，m），N（x，y）为椭圆上任意一点，则|MN|²=x²+（y-m）²，再由N在椭圆上把x用含有y的代数式表示，配方后分类讨论求得答案．

解答 解：（1）设曲线C上任一点为G，则|GF₁|+|GF₂|=10，
由椭圆的定义得曲线C为椭圆，且a=5，c=4，∴b²=9，
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），A（-5，0），则$\overrightarrow{AP}=（{x}_{0}+5，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}=（4-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
由PA⊥PF₂，得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，
∴${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+{{y}_{0}}^{2}=20$，
又P在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，
代入消元得（x₀+5）（16x₀-55）=0，解得${x}_{0}=\frac{55}{16}$或x₀=-5（舍去），
∴P点坐标为$（\frac{55}{16}，±\frac{9\sqrt{15}}{16}）$；
（3）设M（0，m），N（x，y）为椭圆上任意一点，
则|MN|²=x²+（y-m）²，
由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$得，${x}^{2}=25-\frac{25}{9}{y}^{2}$，代入|MN|²得：
$|MN{|}^{2}=-\frac{16}{9}{y}^{2}-2my+{m}^{2}+25$=$-\frac{16}{9}（y+\frac{9}{16}m）^{2}+\frac{25}{16}{m}^{2}+25，-3≤y≤3$，
∴若$m＞\frac{16}{3}$，则y=-3时，|MN|取得最大值为m+3，
∴$m=4\sqrt{3}-3＜\frac{16}{3}$（舍去），
若$m＜-\frac{16}{3}$，则y=3时，|MN|取得最大值为-m+3，
∴$m=-4\sqrt{3}+3＞-\frac{16}{3}$（舍去），
若$-\frac{16}{3}≤m≤\frac{16}{3}$，则当y=-$\frac{9}{16}m$时，|MN|²取得最大值$\frac{25}{16}{m}^{2}+25=48$，
解得$m=±\frac{4\sqrt{23}}{5}∈[-\frac{16}{3}，\frac{16}{3}]$，
综上所述，点$M（0，±\frac{4\sqrt{23}}{5}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了投影点简单性质，训练了；利用配方法求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．