Question

（湖北理21）（本小题满分14分）
已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

Answer 1

见解析

（Ⅲ）假设存在正整数成立，
即有（）+＝1.　　②
又由（Ⅱ）可得
（）+
+与②式矛盾，
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，3²+4²＝5²，等式成立；
当n=3时，3³+4³+5³＝6³，等式成立；
当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴为偶数，而7⁴为奇数，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴,等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的n只有n=2,3.